Equações de 2º grau

ola querido temos conteúdos  sobre equações  do 1º, 2º e 3º grau

                                Equações 

DEFINIÇÕES:

     Uma equação é uma igualdade onde figura sempre, pelo menos, uma letra.                                          

    Raiz ou solução de uma equação é um número que, colocado no lugar da   incógnita, transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira (proposição verdadeira).

     Duas equações são equivalentes quando as soluções da primeira são soluções da segunda e vice-versa.

     Obtemos uma equação equivalente quando passamos um termo de um membro para outro desde que se lhe troque o sinal.

    Obtemos uma equação equivalente quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero.

                                                                 

               

DIFERENTES TIPOS DE EQUAÇÃO SEGUNDO  O GRAU DO POLINÓMIO

EQUAÇÕES DE 1º GRAU	ax +b
EQUAÇÕES DE 2º GRAU	ax2 + bx +c
EQUAÇÕES DE GRAU SUPERIOR A DOIS	axn + axn-1+ ... + ax2 + ax + a = 0

EQUAÇÕES DE 1º GRAU

Conta a lenda que um discípulo de Pitágoras lhe perguntou quantos alunos tinha a sua Escola.

   Pitágoras respondeu-lhe:

  

   “Metade estudam Geometria, a quarta parte a Natureza, a sétima parte meditam simplesmente e há ainda três mulheres.”

Quantos alunos tinha a Escola de Pitágoras?

  

   Para responder a esta pergunta vamos utilizar uma equação do 1º grau:

   Na equação    

                                      x  =  x/2  +  x/4  +  x/7  +  3

   Temos:

   Incógnita:  x

   1º membro:  x

   2º membro:  x/2  +  x/4  +  x/7  +  3

   Quatro termos com a incógnita:  x  ;  x/2  ;  x/4  ;  x/7

   Um termo independente:  3

   Sabemos que, por exemplo::

          80 não é solução da equação, porque

                  80 = 80/2 + 80/4 + 80/7 + 3        PROPOSIÇÃO FALSA

          28 é solução da equação, porque

                  28 = 28/2 + 28/4 + 28/7 + 3        PROPOSIÇÃO VERDADEIRA   

   

        

EQUAÇÕES LITERAIS          Chama-se equação literal a uma equação onde aparecem uma ou mais letras para além da incógnita.            Para resolver uma equação literal, decide-se qual é a incógnita e consideram-se as outras letras como se fossem números conhecidos (parâmetros).            Ex.   Considere um rectângulo de dimensões x e y e escreva uma formula para: determinar o perímetro p, conhecidos x e y; determinar x, conhecidos p e y.

Resolução:   A fórmula p = 2x + 2y permite determinar o perímetro p, conhecidos x e y. Para determinar x, conhecidos p e y, partimos da equação   p = 2x + 2y e resolvemo-la em ordem a x, isto é, consideramos x como incógnita. p= 2x + 2y Û - 2x = - p + 2y Û  2x = p – 2y Û

EQUAÇÕES DE 2º GRAU

DEFINIÇÕES:

        

           As equações do 2º grau ou equações quadráticas são da forma                 ax² + bx +  c = 0, em que a, b e c são números reais e a ¹ 0.

                      a é o coeficiente de x²

                      b é o coeficiente de x e c é o termo independente.

                     Uma equação diz-se completa se  b e c são diferentes de zero;

                          caso contrário, temos uma equação incompletas.

                        

                     Quando uma equação do 2º grau tem a forma ax² + bx + c = 0,

                          diz-se que está na forma canónica.     

EQUAÇÕES COMPLETAS

Como foi referido temos uma equação completa se b e c são diferentes de zero. Este tipo de equação resolve-se através da fórmula resolvente, que permite obter, mais rapidamente as soluções de qualquer equação do 2º grau.       Vamos deduzir a formula resolvente, a partir da equação             ax2 + bx + c = 0,    a ¹ 0

A resolução desta equação conduziu-nos à FÓRMULA RESOLVENTE DAS EQUAÇÕES DE 2º GRAU:

É chamado o binómio discriminante. Sendo muito útil para                                          determinarmos quantas soluções têm as equações de 2º grau. A equação não tem soluções reais.   A equação tem uma só solução real.   A equação tem duas soluções reais.

EQUAÇÕES INCOMPLETAS

  Uma equação do 2º grau será incompleta se se verificar um dos três casos
como possíveis.

                  

EQUAÇÕES INCOMPLETAS   ax² = 0   com  b = 0  e c = 0
                                                       ax² + c = 0 com  b = 0
                                                       ax² + bx = 0  com  c = 0

  Caso em que b = 0 e c = 0

Consideremos a equação    2x² = 0 Û
                                      Û x²  = 0 Û
                                      Û x  = 0 

 Caso em que b = 0         Por exemplo a equação      3x² - 12 = 0 Û
                                              Û 3x² =12 Û
                                              Û   x² = 12/3 Û
                                              Û   x² = 4 Û
                                              Û   x = 2 ٧ x = -2

 Caso em que c = 0

Consideremos a equação  3x² + 7x = 0.
Para resolvermos esta equação temos de aplicar a lei do anulamento do produto.

LEI DO ANULAMENTO DO PRODUTO        Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus factores é nulo.         Simbolicamente:              ab = 0 Û a = 0 ٧ b = 0              abc = 0 Û a = 0 ٧ b = 0 ٧ c = 0              ...

Pomos x em evidência e aplicamos a lei do anulamento do produto:
                     x (3x + 7) = 0 Û x = 0 ٧ 3x + 7 = 0 Û x= 0 ٧ x = -7/3

EQUAÇÕES DE 3º GRAU

As equações de 3º grau ou equações cúbicas são da forma:                       ax3 + bx2 + cx + d = 0,    a ¹ 0  a é o coeficiente de x3  b é o coeficiente de x2  c é o coeficiente de x  d é o termo independente

Vamos ver os vários casos possíveis de resolução:

CASOS POSSÍVEIS	MODOS DE RESOLUÇÃO
d = 0         ax3 + bx2 + cx = 0	põe-se x em evidência; lei do anulamento do produto; formula resolvente.
c = 0          ax3 + bx2 + d = 0	regra de Ruffini; formula resolvente.
b = 0          ax3 + cx + d = 0	regra de Ruffini; formula resolvente.
b = 0        c = 0          ax3 + d = 0	resolve-se da forma usual.
b = 0       d = 0           ax3 + cx = 0	põe-se x em evidência; lei do anulamento do produto; se c > 0 então a equação é impossível e se c < 0 então a equação tem duas soluções.
c = 0      d = 0            ax3 + bx2 = 0	põe-se x2 em evidência; lei do anulamento do produto; resolve-se da forma usual.
b = 0       c = 0       d = 0            ax3 = 0	resolve-se da forma usual.
b, c, d ¹ 0   ax3 + bx2 + cx + d = 0	regra de Ruffini; lei do anulamento do produto; fórmula resolvente.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Sistemas de equações equivalentes são os sistemas que apresentam o mesmo conjunto solução.

Para resolver um sistema de equações do primeiro grau pode-se recorrer ao método de substituição, que consiste em:

1 - Reduzir o sistema à forma canónica:

 ou 

Para isso, simplificar cada uma das equações do sistema, efectuando os passos de resolução das equações do primeiro grau:

1.1 - Desembaraçar de parentesis;

1.2 - Desembaraçar de denominadores;

1.3 - Passar os termos com as incógnitas para um dos membros;

1.4 - Reduzir os termos semelhantes;

2 - Escolher uma das equações e uma das incógnitas. Resolver essa equação em ordem a essa incógnita, utilizando as regras para resolução de equações do primeiro grau;

3 - Substituir a expressão encontrada para a incógnita na outra equação;

4 - Resolver a outra equação (aquela que apresenta agora só uma incógnita) em ordem à incógnita que ficou, utilizando as regras para resolução de equações do primeiro grau;

5 - Substituir o valor numérico encontrado para esta incógnita num dos passos da primeira equação;

6 - Resolver esta equação até obter o valor numérico da incógnita;

7 - Apresentar a solução e verificar se serve o enunciado do exercício.

NOTAS: As regras enunciadas utilizam-se em casos gerais. Há, no entanto, casos particulares em que alguns destes passos podem não ser utilizados.
A solução de um sistema de equações tem de verificar, simultaneamente, as duas condições.

Os sistemas de equações do primeiro grau podem classificar-se em:

---

EXEMPLOS:
1:

---

EXERCÍCIOS:

1)Verifique que a seguinte equação é impossível:

2)Verifique que a seguinte equação é ndeterminada:

3)Resolva os seguintes sistemas de equações:

3.1)	3.2)	3.3)
3.4)	3.5)	3.6)